دانلود پایان نامه

ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻗﺒﻞ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮ روی ﻗﻄﻌﻪﻫﺎی زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻣﺎ ﻣﺎﻫﻴﺘﺎً دو اﺧﺘﻼف ﻋﻤﺪه ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه دارد
۱- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﭘﻴﻚﻫﺎی ﻣﻨﻔﺮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ﻣﻨﻔﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.
۲- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻋﺮض ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺣﺘﻢ این خاصیت ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک اﺳﺖ.
ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﮔﺮدد:
CWT_x^Ψ (τ,s)= 1/√(|s| ) ∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t) ψ^* ((t-τ)/s)〗 dt (2-8)

ﻛﻪ در آن τ وs ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎی اﻧﺘﻘﺎل و ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻴﺰان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﭘﻨﺠﺮه را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ وﺿﻮح، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ را درﺑﺮدارد. اﻣﺎ ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ فوریه زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﻧﺪارﻳﻢ. در ﻋﻮض، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس را دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ارﺗﺒﺎط دارد. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ s =1/ f. ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس ﺟﻠﻮﺗﺮ آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ. در راﺑﻄﻪ (۸-۲) ψ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر۳۸ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد . واژه ﻣﺎدر ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻧﺴﺨﻪﻫﺎی اﻧﺘﻘﺎل ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﻫﻤﮕﻲ از روی ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اوﻟﻴﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﻋﻠﻤﻲ، موجک ﻣﺎدر، ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻟﮕﻮ (proptotype) ﺟﻬﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺳﺎﻳﺮ ﭘﻨﺠﺮه ﻫﺎ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ .
ما در حال حاضر با این واقعیت که آنالیز موجک یک دید زمان – مقیاس از سیگنال به ما می دهد آشنا هستیم . در بخش های بعدی می خواهیم با مفاهیم مقیاس و انتقال موجک آشنا شویم .
۷-۳-۲ مقیاس۳۹
مقیاس کردن موجک به طور ساده به معنی بسط دادن ،فشرده کردن ، آن می باشد موجک مادر می باشد . شکل (۷-۲) مفهوم مقیاس کردن را به خوبی نمایش می دهد.

شکل ۲ – ۷ مقیاس کردن موجک ، a بیانگر مقیاس می باشد .[۱۰]

آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﻨﻮان ﺷﺪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺟﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس وﺟﻮد دارد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ از ﻣﻌﻨﻲ اﻳﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮﻣﻲ آﻳﺪ، ﻧﻮﻋﻲ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس درون آن ﻧﻬﻔﺘﻪ اﺳﺖ. درﺳﺖ ﺑﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس در ﻧﻘﺸﻪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺰرگ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ دﻳﺪ ﻛﻠﻲ و ﻓﺎرغ از ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ (ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ) و ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻧﮕﺎه ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ و ﻟﺬا در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ﺑﺎﻻ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
ﻣﻘﻴﺎس ﻛﺮدن، ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ اﭘﺮاﺗﻮر رﻳﺎﺿﻲ، ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻳﺎ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، در مقیاس های ﺑﺎﻻ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ و در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﻛﻠﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس در ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، در ﻣﺨﺮج ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ازای ﻣﻘﺎدﻳﺮs 1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺑﻪ ازای s <1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺸﺮده ﻣﻲﮔﺮدد.[9] 8-3-2 انتقال 40 در بخش قبل مفهوم مقیاس کردن را با نمایش یک شکل به خوبی نشان دادیم . در این بخش نیز می خواهیم مفهوم انتقال را با نمایش شکل بیان کنیم . شکل 2-8 مفهوم انتقال را به خوبی نمایش می دهد . [10] شکل 2 - 8 انتقال تابع موجک[10] 9-3-2 پنج مرحله تا رسیدن به تبدیل موجک پیوسته تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در انتقال های زمانی و با مقیاس های متفاوت می باشد. این فرآیند ضرایبی تولید می کند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند. در واقع پنج مرحله برای رسیدن به تبدیل موجک پیوسته نیاز داریم : یک موجک به عنوان موجک مادر انتخاب کرده و آن را با قسمت ابتدایی سیگنال همانند شکل (2-9) مقایسه کنید . مقدار C را که بیانگر میزان شباهت 41 موجک با قسمت انتخابی از سیگنال می باشد را حساب کنید . به این نکته توجه کنید که مقادیر بالاتر C بیانگر شباهت بیشتر می باشد . به طور دقیق تر اگر انرژی سیگنال و انرژی موجک برابر یک باشد C می تواند به عنوان ضریب همبستگی تفسیر شود . توجه : نتیجه به نوع موجکی که به عنوان موجک مادر انتخاب می کنید بستگی دارد . شکل 2 - 9 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره ی 1 [10] موجک را به سمت راست انتقال می دهیم و مراحل 1 تا 2 را تا زمانی، که کل سیگنال را پوشش دهیم تکرار می کنیم . شکل 2 - 10 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 2 [10] موجک مادر را به مقیاس جدید برده و مراحل 1 تا 3 را تکرار می کنیم . شکل 2 - 11 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 3 [10] مراحل 1 تا 4 را برای تمامی مقیاس ها تکرار کنید . بعد از انجام این مراحل شما ضرایب تولید شده حاصل از تبدیل موجک یک سیگنال را دارید . [10] ﺷﻜﻞ (2-12) ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎی اﻳﺴﺘﺎ و ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎی ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ (2-4 ) الف را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از موجک ﻣﺎدر db8 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ. ﺧﺎﺻﻴﺖ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺷﻜﻞ (2-12) ﺑﻪ وﺿﻮح ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ) رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻬﺘﺮی دارﻳﻢ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﻤﻮدار ﺑﺎرﻳﻚﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮی ﻣﻲ ﺗﻮان ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ را ﺑﻴﺎن ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺧﻮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺿﻌﻴﻒ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺎﻻﺗﺮ دارای رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻃﻮل ﻣﺤﻮر ﻣﻘﻴﺎس، ﭘﻬﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ. [9] شکل 2 - 12 نمایش سه بعدی تبدیل موجک پیوسته سیگنال های نشان داده شده در شکل 2-1 با استفاده از موجک مادر 8 db (الف) تبدیل موجک سیگنال ایستا ، (ب) تبدیل موجک سیگنال نا ایستا [4] 10-3-2 رزولوشن در صفحه زمان – فرکانس در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﻧﮕﺎﻫﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺧﻮاﻫﻴﻢ اﻧﺪاﺧﺖ. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻋﺎﻣﻞ اﺻﻠﻲ روی آوردن از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻮد. ﺷﻜﻞ(2-13) ﺗﻮﺻﻴﻒﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﺑﺮای ﺗﺒﺪﻳﻞﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﻫﺮ جعبه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﻫﺮ جعبه ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ دارد ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﺎﺑﻞ داﻧﺴﺘﻦ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻳﻚ جعبه ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ، ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ (موجک ﻳﺎ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه) ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻣﻲﮔﺮدﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (2-13) ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ واﺳﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮدن ﭘﻨﺠﺮه در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، رزوﻟﻮﺷﻦ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﻫﻤﻪ ﺟﺎی ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ. ﺣﺎل آنﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻃﻮل و ﻋﺮض جعبه های ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻟﻤﺎن ﻫﺎی رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﻤﭽﻨﺎن ﻣﺴﺎﺣﺖ آنﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻫﺮ جعبه ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﻳﻚ ﺑﺨﺶ ﻳﻜﺴﺎن از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﺒﺘﻪ در ﺟﺎﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ، ﺑﻪ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺳﻬﻢ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺎﻻ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ)، ارﺗﻔﺎع جعبه ها ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ و ﻋﺮض جعبه ها ﺑﺰرگ ﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ)، ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺗﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﺑﺪ و در ﻋﻮض ارﺗﻔﺎع آنﻫﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ﺗﺎ در ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺎزی ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺧﻮب ﻧﺪارﻳﻢ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺪﺗﺮ ﺷﻮد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ها ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ دارد. ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺎرغ از اﻳﻦ ﻛﻪ موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎررﻓﺘﻪ ﭼﻪ ﺑﺎﺷﺪ، ﻛﺮان ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﺪدπ / 4 ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺮ اﺳﺎس اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ، ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ را ﺗﺎ ﺟﺎی ﻣﻤﻜﻦ ﻛﻢ ﻛﺮد. [5] شکل 2 - 13 نمایش رزولوشن در صفحات مختلف (الف ) صفحه زمان (ب) صفحه فرکانس (پ) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل فوریه زمان – کوتاه (ت) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل موجک [4] 4-2 رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، اﻳﺪه اﺻﻠﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﻗﺎﻟﺐ رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ای ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد. قبل از بیان روابط ریاضی مربوط به تبدیل موجک برخی مفاهیم ریاضیاتی که با آن ها در این بخش سر و کار داریم را مورد بررسی قرار می دهیم . تعریف استقلال خطی مجموعه بردار های {V1 … Vm} را مستقل خط می گوییم هر گاه c1V1+ …. CmVm = 0 آنگاه c1=c2=…=cm تعریف پایه مجموعه ای متناهی از بردارها همانند {v1,…,vm} را یک پایه فضای برداری V می نامند هر گاه این مجموعه مولد V و مستقل خطی باشند . ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ از ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری V ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﺑﺮدارﻫﺎی ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﻫﺮ ﺑﺮدار v در ﻓﻀﺎی V را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻳﻚ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ از اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﻧﻮﺷﺖ. [6] تعریف بعد در فضای برداری در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻳﺎﻓﺖ، اﻣﺎ ﻫﻤﮕﻲ آنﻫﺎ دارای ﺗﻌﺪاد ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺑﺮدار ﭘﺎﻳﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد را ﺑﻌﺪ آن ﻓﻀﺎی ﺑﺮداری ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.[6] تعریف بردارهای متعامد 42 فرض کنید V یک فضای حاصل ضرب داخلی باشد . دو بردار ناصفر u , v در V متعامد نامیده می شوند اگر = 0 [6]

دومتعامد۴۳
دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻪ دو ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻛﻪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﺮﻛﺪام ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻲ ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻧﻤﻲدﻫﻨﺪ ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد. [۴]
با توجه به مفاهیم بالا ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻫﺮ ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه در ﻓﻀﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد:
v= ∑_(k=1)^N▒〖a_k b_k 〗 (۲-۹)

ﻛﻪ در آن، bk ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ ﺑﻮده و N ﺑﻌﺪ ﻓﻀﺎﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻪ در ﻓﻀﺎی αk ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﻓﻀﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ، ﺑﺮداری ﺑﻴﺎن ﺷﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻌﻤﻴﻢ داد ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻪ ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﺟﺎی ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ) ﻣﻲدﻫﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ دﻟﺨﻮاه(f(t را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻧﻤﻮد:
f(t)= ∑_(k=1)^N▒〖a_k ϕ_k (t) 〗(۲-۱۰)

ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ دﻳﺪﻳﻢ، ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻼوه، اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻮده و ﻟﺬا اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ را ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻲدﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل اوﻟﻴﻪ را از روی ﺗﺒﺪﻳﻞﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻧﻤﻮد.
ﻓﺮض ﻛﻪ (f(t و(g(t دو ﺗﺎﺑﻊ در ﻓﻀﺎی دوﺑﻌﺪی ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺿﺮب داﺧﻠﻲ اﻳﻦ دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد
〈(f(t),g(t)〉= ∫▒〖f(t) g^* (t)dt〗 (۲-۱۱)

ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، راﺑﻄﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
CWT_x^Ψ (τ,s)= 1/√(|s| ) ∫_(-∞)^(+∞)▒〖x(t) Ψ^* ((t-τ)/s)〗 dt = 〈x(t),Ψ_(r,s) (t)〉 (۲-۱۲)

ﻛﻪ در آن :

Ψ_(r,s) (t)=1/√(|s| ) Ψ((t-τ)/s) (2-13)
ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ اراﺋﻪ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (۲-۱۳) ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳﺖ، ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺑﺮداﺷﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻧﺪازهﮔﻴﺮی ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺑﻴﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ( موجک ها) اﺳﺖ. ﻣﻨﻈﻮر از ﺷﺒﺎﻫﺖ در اﻳﻦ ﺑﺤﺚ، ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮای ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻣﻴﺰان ﻧﺰدﻳﻜﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ موجک در ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮردﻧﻈﺮ اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ، در اﻳﻦ ﺻﻮرت وﻳﻮﻟﺖ ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﺷﺒﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺿﺮﻳﺒﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻣﻘﺪاری ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ.
ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، در ﻫﺮ ﻓﻀﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه ای ﺑﺮﺧﻮردارﻧﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﻮاص ﺑﺴﻴﺎر ﺧﻮب و ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه ای ﺑﻪوﻳﮋه در ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ در راﺑﻄﻪ (۲-۱۴) ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ:

a_k= 〈(f(t),g(t)〉= ∫▒〖f(t) ϕ_k^* (t)dt〗 (۲-۱۴)

ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻧﻤﻮد:
f(t)= ∑_(k=1)^N▒〖a_k ϕ_k (t) 〗= ∑_(k=1)^N▒〖〈(f(t),ϕ_k (t)〉 ϕ_k (t) 〗 (۲-۱۵)

در ﻛﻨﺎر اﻳﻦ ﺧﻮاص ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه، ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ در دﺳﺘﺮس ﻧﺒﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﻣﻮاﻗﻊ ﻣﻲﺗﻮان از ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎی دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ اﮔﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎی دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺗﺮی ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﻓﺮﻳﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.

۵-۲ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک پیوسته
در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ، راﺑﻄﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک و ﺷﺮط ﻻزم ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ را از دﻳﺪﮔﺎه رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (۲-۱۵) ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه:
∫▒〖Ψ(t)dt=0 〗(۲-۱۶)
ﺑﺮای ﺑﺮﻗﺮار ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺷﺮط ﺑﺎﻳﺪ موجک ﻣﺎدر، ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ارﺿﺎ ﺷﺪن اﻳﻦ ﺷﺮط در ﺑﺴﻴﺎری ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﺳﻬﻮﻟﺖ اﻣﻜﺎنﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ، ﻣﺴﺘﻘﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ. در اﻳﻦ ﺻﻮرت، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ از راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد:

x(t)= 1/(c_Ψ^۲ ) ∫_s▒∫_r▒Ψ_x^ψ (τ,s) 1/s^2 ((t-τ)/s)dτ ds (2-17)
ﻛﻪ در آن cψ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و ﺑﻪ موجک ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﺑﺮﮔﺸﺖﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻲ ﺑﺎزﺳﺎزی ﻛﺎﻣﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﻋﻤﻮﻣﺎً اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ را ﺛﺎﺑﺖ ﭘﺬﻳﺮش ۴۴ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش ۴۵ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد:
c_( ψ )= (۲π ∫_(-∞)^(+∞)▒〖|ψ ̂ (ξ)| 〗^۲/|ξ| dξ)^(۱/۲) ∞ (۲-۱۸)

ﻛﻪ در اﻳﻦ راﺑﻄﻪ، ψ ̂ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر اﺳﺖ.

۶-۲ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﺎزی ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎ در اﻧﺠﺎم ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت اﻣﺮوزی، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ در ﻛﻨﺎر ﻣﻄﺮح ﻛﺮدن اﻳﺪه ﻫﺎی ﭘﺮدازﺷﻲ، ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ آنﻫﺎ را درﺧﻮر ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻧﻴﺰ درآورد. ﺗﺒﺪﻳﻼﺗﻲ ﻛﻪ ﺗﺎ اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، از ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻫﻤﮕﻲ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻣﻜﺎن ﻛﺎرﺑﺮد ﻋﻤﻠﻲ در ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ را ﻧﺪارﻧﺪ. ﻟﺬا ﺿﺮوری اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ.
در ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ روش، ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ آن اﺳﺖ. ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ، ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ روش اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ در ﻣﻮرد ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری را ﻛﺎﻫﺶ داد. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎی ﺑﺎﻻﺗﺮ (ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦﺗﺮ) ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ ۴۶ کاهش داد . ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻦ ﻛﻪ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری در ﻣﻘﻴﺎس S1 ، برابر با N1 باشد ، نمونه بر داری در مقیاس S1 S2 با نرخ N1 N2 صورت خواهد پذیرفت . رابطه دقیق بین این دو نرخ را چنین می توان بیان نمود . [۹]
N_2= S_1/S_2 N_1= f_2/f_1 N_1 (2-19)

ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری را ﻛﺎﻫﺶ داد ﺗﺎ ﺑﺘﻮان در زﻣﺎن ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﻲ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻲ ﻧﻤﻮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﮔﺮ ﺑﺎزﺳﺎزی ﺳﻴﮕﻨﺎل از روی ﺗﺒﺪﻳﻞ آن ﻣﺪﻧﻈﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲﺗﻮان اﻟﺰاﻣﺎً ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ را رﻋﺎﻳﺖ ﻧﻜﺮد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر ﻛﻪ در ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش (۲-۱۸) ﺻﺪق ﻛﻨﺪ، ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ (۲-۱۷) ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻓﻘﻂ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺻﺎدق اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﻴﺶ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻧﻴﺰ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ.
ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﺆال ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ، ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﺑﻬﺘﺮ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻄﻲ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزی ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، اﺑﺘﺪا ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎسS ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪی ﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﻲ، ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﭘﺲ از آن، ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻘﻴﺎس، ﻳﻚ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد. اﺻﻄﻼﺣﺎً ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداری ﺑﺮ روی ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪی دودوﻳﻲ۴۷ اﻧﺠﺎم ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﺷﻜﻞ (۲-۱۴) ﻧﺤﻮه ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺑﺎﻻ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ.
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از مفاهیم بالا ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﮔﺮدد:

شکل ۲ – ۱۴ محل موج ها به هنگام گسسته کردن بر روی درجه بندی دودویی [۵]

Ψ_x^(ψ j,k )= ∫▒〖x(t) Ψ_(j,k)^* 〗 (t)dt (2-20 )

ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﺑﺮای ﺑﺎزﺳﺎزی ﺳﻴﮕﻨﺎل از روی ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
x(t)= c_( Ψ) ∑_j▒∑_k▒Ψ_x^(ψ j,k ) Ψ_(j,k) (t) (2-21)

۷-۲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ۴۸
اﮔﺮﭼﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻛﻪ در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺑﺎ آن آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻳﻢ، ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎی ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮی را دارد اﻣﺎ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ، ﻳﻚ ﺳﺮی موجک اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﻟﺬا اﻃﻼﻋﺎت ﻣﻮﺟﻮد در آن ﺑﺴﻴﺎر زاﺋﺪ و اﺿﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ ﺑﻲ دﻟﻴﻞ ﺑﺎر ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻟﺬا از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ از ﻟﺤﺎظ ﭘﻴﺎده ﺳﺎزی ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدهﺗﺮ و ﺑﻬﻴﻨﻪﺗﺮ اﺳﺖ.
اﺻﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻪ روﺷﻲ ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید